作家：Anders Kock（安德烈亚斯·科克爱色堂，丹麦奥胡斯大学）2023-6-30

译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-3

弗朗西斯·威廉·劳维尔（Francis William Lawvere）是20世纪末于今最有影响力的东谈主物之一，因为他通过鼎新限度论器用来长入和简化数学。本文尝试描画这一进程中的一些里程碑和愿景。

1 连气儿统物理（Continuum physics，即连气儿介质物理）

劳维尔出身于1937年2月，是印第安纳州芒西的一个农民的女儿。他在印第安纳大学学习物理学，很快就合计推理需要采取更多可用的以及更明确的基础，尤其是在连气儿统（连气儿介质）物理学中。他在印第安纳州是施普林格期刊《感性力学与分析档案 Archive for Rational Mechanics and Analysis》创始东谈主克利福德·特鲁斯德尔（Clifford Truesdell）的学生。特鲁斯德尔也有肖似的基础议程。劳维尔此时也曾看到了限度论门径的必要性。第一步是为了已毕“限度能源学 categorical dynamics”（其中一些在1960年代末已毕）。要津的一步是他对函数空间酿成的限度论表述，用到了通用性（跟随函子 adjoint functor）：笛卡尔闭限度（Cartesian closed categories）。

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F.威廉·劳维尔，布拉加，2007年3月

特拉斯德尔暗里磋议了艾伦伯格，以促使劳维尔四肢艾伦伯格的博士生参预哥伦比亚大学（1960-63），其中1961-63年有一次中断，那时劳维尔去了加利福尼亚，从行家塔斯基（Tarski），斯科特（Scott）等那儿学习更多的蛊惑论和逻辑。在加州时期，劳维尔完成了他（在哥伦比亚大学）对于代数表面的函子语义学的博士论文，其中突出是代数表面的看法所以无示意的形式给出的。

2 蛊惑的限度

对于劳维尔本东谈主来说，他寻找可用和可教的数学基础的转念点，是1963-64年在俄勒冈乡镇德学院担任助理教师。2007年在布拉加 （葡萄牙）玛丽亚·曼努埃尔·克莱门蒂诺（Maria Manuel Clementino）和乔治·皮卡多（Jorge Picado）对劳维尔进行的辽远采访中[2]，劳维尔说：

在里德，我被教唆，微积分的第一年应该专注于基础，第二年教公式。因此[...]我花了几个星期的准备时刻试图打算基于ZF（策梅洛-弗兰克尔，Zermelo–Fraenkel）蛊惑论的微积分课程。然则，安祥评估之后发现，从荫藏微分和积分的积蓄档次结构中，界说层数太多，而无法在一年内完成这些档次。康托尔无结构蛊惑的限度结构似乎既浅薄又接近。因此，蛊惑限度的基本表面产生于纯正的施行栽种需要。

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F. W.劳维尔， A. Heller， R. Lavendhomme （后排）和A. Carboni在葡萄牙科英布拉的CT99

劳维尔的许深广学配置（看法，构造和定理）是由于起劲鼎新微积分和工程数学教诲的效果，况兼这些起劲导致他得出论断，数学（即使是微积分课程）的可行基础，弗成在ZF中使用x∈y（成员）来表述，但不错凭证映射的看法来表述ƒ: A → B（过甚合成）。劳维尔，在2007年布拉加的采访中说[2]:

从玄学上讲，不错说这些发展撑抓了，即使在蛊惑论和初等数学中，正如在高等代数和拓扑学中恒久以来所感受到的那样，这亦然正确的，即数学的骨子并不存在于骨子中，（∈“属于”是不可约的谓词它看起来很像骨子），而是存在于模式中（举例由通用映射属性界说，有影响的看法是同构不变结构）。与代数和拓扑学一样，这里用于精准抒发和灵验处理这些想法的具体时间机器，是由Eilenberg-Mac Lane的限度论，函子和当然变换表面提供。

在里德学院学习一年后，劳维尔去了苏黎世，1964-66年他在那儿访谒了贝诺·埃克曼数学研究所。埃克曼得胜诱导了多位限度论学家参与。值得矜重的是，单据（monad）的看法以及它与代数表面和同调性的磋议被斥地（见[3]）。

从苏黎世动身，不错参加在德国南部隔壁的Oberwolfach（奥伯沃尔法赫）举行的研讨会。在这里，劳维尔碰到了彼得·加布里埃尔（Peter Gabriel），并向他学习了格罗滕迪克（Grothendieck）的几何学门径，如SGA4中所述[1]。

3 格罗滕迪克

格罗滕迪克的责任对劳维此自后的责任产生了根人道的影响。他们第一次碰头是在尼斯的ICM（1970年国外数学家大会），他们齐是受邀演讲者。劳维尔在这里公开反对格罗滕迪克在一个单独的演讲中宣传他的“活命”贯通。

1973年，他们齐来访布法罗（Buffalo）。劳维尔在布拉加的采访中说：

我清楚地难忘他调换我代数几何的基本视力，如“点具有自同构”。1981年，我去法国南部的一块薰衣草田中他住的石屋看望他，议论他对一个样貌的看法[...]。我终末一次见他是在1989年的吞并个场所（Aurelio Carboni从米兰开车送我去那儿）：他彰着很清脆见到我，但因为宗教誓词不语言；他在一张纸上写谈，他也被回绝运筹帷幄数学，尽管很快他的数学灵魂告捷了，留给我一些荒谬的数学札记。

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1997年3月在葡萄牙科英布拉讲学爱色堂

4 限度能源学和概述微分几何

在1967年的大部分时刻里，劳维尔是芝加哥大学的助理教师。劳维尔在这里启动在高档讲座系列中应用格罗滕迪克的拓扑斯（topos）表面，围绕连气儿介质力学的简化基础问题，灵感来自Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）的公理化。该系列Mac Lane，Jean Bénabou，Eduardo Dubuc等东谈主包括作家（那时正在劳维尔的率领下完成一篇论文）出席了会议。研讨会的突分娩出不是实足纯熟的限度能源学，而是它的能源学基础的想法：对于假设的 “无限小”对象D（欺骗假设空间限度的笛卡尔闭结构），具有可示意的切丛结构T(M) = Mᴰ。这种“能源学”（kinematic）念念路的一个方面自后被一些东谈主发展为一个纯熟的“概述微分几何”（synthetic differential geometry）。

代数几何的灵敏，这是限度能源学中发展的基础，也不错引入并应用在轨范光滑微分几何；劳维尔使用代数表面（在他1963年论文的道理上），即n元运算是光滑函数ℝⁿ → ℝ的表面，至关进攻的是不条目使用生成元和磋议示意。

5 初等拓扑斯、代数几何和逻辑

劳维尔于1968-69年回到苏黎世科学研究所（Forschungsinstitut）。此时的他，也曾更敬佩，拓扑斯不仅四肢限度能源学的配景，而且适用于蛊惑论和逻辑的看法：布尔值模子，和力迫（如科恩Cohen 1963年对于连气儿统假设的责任）。在布拉加的采访中，他说：

这些彰真实足不同的拓扑斯，波及无限小的贯通和高档逻辑，可能是吞并个浅薄公理表面的一部分，是我 1967 年芝加哥课程的应许。直到我第二次待在科学研究所之后，它才成为现实。1968-69年在瑞士苏黎世的时间，我发现了拓扑斯的幂集函子是研究以基本术语抒发酿成相伴层（associated sheaf）的运算问题的效果，以及1969-1970之后通过我与迈尔斯·蒂尔尼（Myles Tierney）的合作 [...]。

此次合作发生在哈利法克斯（加拿大）：1969年，劳维尔在哈利法克斯的达尔豪西大学取得了闻明的基拉姆教师职位，那时被允许邀请十几个合作家（其中包括蒂尔尼），一样得到基拉姆的撑抓。这意味着在1969年至1971年时间，达尔豪斯成为一个吵杂的场所；突出是在数学上，初等拓扑斯的看法在这里逐渐明确结晶。值得矜重的是，劳维尔组织了SGA4[1]的预印本版块（exposé I-IV）被分发给他的研讨会的参与者（SGA4是阿廷，格罗滕迪克和韦迪尔的 “Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas”，直到1972年才庄重出书）。

然则，在1971年，达尔豪西的梦之队被赶走了；大学行政部门拒却与劳维尔续约公约，因为他的政事行为抗议越南战斗和反对特鲁多的《战时条例》，以恐怖主义危急为借口暂停民事解放。（但在1995年，达尔豪斯左右了行为庆祝限度论50年，劳维尔有参与）

劳维尔在1971年踯躅哈利法克斯前夜组织的一次会议，有进攻的标题：“拓扑斯，代数几何和逻辑“，此次会议的论文集发表于1972年[6].

1971年离开哈利法克斯后，劳维尔成为奥胡斯（丹麦）的客座教师（1971-72年），以及佩鲁贾（意大利）的客座教师（1972-73年）。这些年，从哈利法克斯带来的拓扑斯表面的新视力，得到舒适和更世俗传播。另外，1973年劳维尔终末假寓在布法罗（好意思国），以时短时长的拜访停留，与他的欧洲一又友和合作家保抓密切磋议；这包括1980-81年在IHÉS（巴黎）的一年。

咱们在哈利法克斯和自后学习的拓扑斯突出是“gros toposes 大拓扑斯”（如单纯集的拓扑斯），与“petit toposes 小拓扑斯”（如拓扑空间上的层拓扑斯）相对。这是SGA4，IV.4.10中所作的别离。这种区别对劳维尔而言是研究拓扑斯限度的一种输入，即在它们的函子相互磋议中的拓扑斯。这些研究是由很多研究东谈主员开发的，并记载在许深广学专著、著述会通议中（有或莫得会议智力）。劳维尔相称积极地参与会议，浅显四肢特邀主讲东谈主；他对取得他的想法的资产以及愿景以书面模式写下来不太积极。举例，他1967年在芝加哥对于限度能源学的创始性演讲，直到1978年才以书面模式在奥胡斯举行的抓续“灵通日”夏令会议中处理，主题为“几何中的拓扑斯表面门径”[5]。

1982年，劳维尔（与他在布法罗的共事Steve Schanuel史蒂夫·沙努埃尔一齐）在布法罗组织了一次会议，“连气儿介质物理学中的限度”，连气儿介质物理学的很多主要研究东谈主员也参与其中，比如Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）。会议记载中的三篇著述 （发表在[8]) 处理热力学基础问题。

劳维尔于1977年在达勒姆进攻的大型夏令会议的科学率领委员会中，其“层的应用” [4]，象征着在数学和物理表面看法化中欺骗相对浅薄的主题的打破。劳维尔在达勒姆作念了一个对于“热力学基础中的限度”的演讲，然则，我无法找到书面记载。另一方面，如实关联于劳维尔在此次会议上的演讲（有浓烈的诡辩）的记载，标题是“数学的逻辑”，劳维尔在演讲中说了他对数学玄学和发展的看法。我把它包括在内，因为如若莫得反应他的政事/玄学生活和责任中失当协的脾气，那么劳维尔的讣告是不齐备的：

在这场达勒姆诡辩中，劳维尔在演讲启动时说（凭证我的札记和牵记）：

数学是研究空间模式和数目磋议的科学。数学的宗旨是什么？其宗旨是澄莹这种磋议，以便四肢东谈主们融合起来贬责生产斗争中的问题（不是数知识题）以及这种斗争的庄重性（即科学实验）的基础。

在演讲的早期阶段，也曾出现了一位不雅众一个打断性的问题（可能是修辞）说：“生产的宗旨是什么？” 劳维尔想了好霎时才回话：“带你来这里！”

在演讲的后期，劳维尔说：

数学逻辑的宗旨；澄莹和简化学习、使用和数学的发展。[...]辩证的形式：还有一个反宗旨：拖拉、复杂化和阻拦数学的学习、使用和发展。突出是，通过促进来冻合髻展：洽商免强一切齐参预一个粗略偷安的框架[...]。这两个宗旨在咱们每个东谈主的内心齐在相互斗争。[...]浅显，反宗旨胜过宗旨。这是因为反宗旨顺应总揽阶层的利益。这是往时100年来发生了强大变化的事情。把持资产阶层的利益反对生产力的发展。

6 公理内聚

这不是一个提供（我也无法提供）劳维尔数学和玄学责任的通盘方面齐备综述的场所。再提供一些要津词：概率、限度逻辑、标的/纤维限度、度量空间四肢充实后的限度，语言学，世俗与密集数目，物理量限度，格拉斯曼，公理内聚。

正如劳维尔2007[7]所讲，公理内聚的想法尤其导致了最近的新发展。

以下是2007年出书物的援用：

需要明确的内聚科学来确认注解能源学数学表面的多样配景模子。这么的科学需要有敷裕的阐扬力，来确认注解这些配景与其他数学限度有何不同，以及相互之间也不同，但又如斯融合，甚而于它们不错相互转念。这种相互调理的日常例子是天气预告员从有限元门径（不错看作是组合拓扑斯中的分析）到连气儿介质热力学方程（不错看作是光滑函数和散布所在的光滑拓扑斯的分析）的应用。

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F. W. 劳维尔与作家在苏黎世Odeon咖啡馆， 1966年秋天

这种内聚公理科学的基础是一串四个函子p!  ⊣  p^*  ⊣  p_*  ⊣  p^! ，字符串中的每个字符串齐与下一个字符串左跟随。此类字符串的示例 在拓扑中很熟悉：

p! 将某空间的说合组件的蛊惑关联到（充分好的）该空间，p^* 将蛊惑上的摧毁空间结构关联到该蛊惑，P_* 将其点集关联到该空间，终末P^! 将蛊惑上的协摧毁空间结构关联到该蛊惑。在拓扑斯限度中，这种字符串的属性组成了上述引文中条目的诸多永别。

劳维尔提倡的很多想法中唯有一部分也曾写出来，更无须说发表、成形，但只以种子的模式存在于身边东谈主的念念想和札记中。

也许，未来硕果累累的植物将从这些种子中长出来。如若种子更容易取得，种子的发芽将得到加强。一些斥地此类档案的行为正在开展，突出是在 https://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere

对于作家：

安德斯·科克（Anders Kock）是丹麦奥胡斯大学数学系名誉教师。他于1963年毕业于奥胡斯大学，并于1963-67年在芝加哥和苏黎世的劳维尔率领下攻读博士学位。他于1969-70年在哈利法克斯担任博士后，并于1971-72年在奥胡斯与劳维尔合作。1973年5月、1978年5月、1983年6月，他在奥胡斯组织了为期两周的灵通日研讨会（劳维尔参加了这些研讨会），并从1966年到2018年参加了很多限度表面会议和研讨会。他是几本书的作家，如《Synthetic Differential Geometry 概述微分几何》（剑桥大学出书社，1981年，2006年第2版）和《流形的概述几何》（剑桥大学出书社，2010年）。

参考贵寓

[1] M. Artin， A. Grothendieck and J. L. Verdier， Théorie des topos et cohomologie etale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Math. 269， Springer， Berlin (1972)

[2] M. M. Clemetino and J. Picado， Inteview with F. William Lawvere. http://www.mat.uc.pt/~picado/lawvere/interview.pdf (2007)

[3] B. Eckmann (ed.)， Seminar on triples and categorical homology theory (ETH 1966/67). Lecture Notes in Math. 80， Springer， Berlin (1969)

[4] M. P. Fourman， C. J. Mulvey and D. S. Scott (eds)， Applications of sheaves. Proceedings of the research symposium on applications of sheaf theory to logic， algebra and analysis (Durham 1977)， Lecture Notes in Math. 753， Springer， Berlin (1979)

[5] A. Kock (ed.)， Topos theoretic methods in geometry， Various Publications Series 30， Aarhus University， Aarhus (1979)

[6] F. W. Lawvere (ed.)， Toposes， algebraic geometry and logic. Lecture Notes in Math. 274， Springer， Berlin (1972)

[7] F. W. Lawvere， Axiomatic cohesion. Theory Appl. Categ. 19， no. 3， 41–49 (2007)

[8] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel (eds.)， Categories in continuum physics. Lecture Notes in Math. 1174， Springer， Berlin (1986)

[9] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel， Conceptual mathematics. Cambridge University Press， Cambridge (1997) (2nd ed. 2009)

[10] https://euromathsoc.org/magazine/articles/143

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